Бутылка Клейна.

бутылка клейна

Картинки по запросу

Хотела сначала это поместить в Наука.Наш мир., но всегда считала, что эта бутылка Клейна — это полный П.

как говорит вики:
Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное многообразие). Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

дальше статья
Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.
KleinBottle-topology-01.png

В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Более формально,(тут можно уже смеятся) бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата [0,1]\times [0,1] идентифицируя точки (0,y) ~ (1,y) при 0\leqslant y\leqslant 1 и (x,0) ~ (1-x,1) при 0\leqslant x \leqslant 1, как показано на диаграмме.

Свойства

* Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
* Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство \R^3, но вкладывается в \R^4.
* Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве \R^3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно.
* Хроматическое число поверхности равно 6.

Рассечения
Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).

Бутылка Клейна в культуре

* Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В том месте, где бутылка пересекает сама себя, по технологическим причинам приходится оставлять отверстие.
* В сериале «Футурама» в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.
* В рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения.
* В рассказе писателя Дэна Шорина «Бутылочка профессора Клейна», входящем в межавторский цикл Южная Пристань в качестве сюжетообразующего элемента рассматривается гомеоморфность бутылки Клейна.
* В дополнении «Wrath of Lich King» к игре World of Warcraft ряд предметов, создаваемых алхимиками, имеют иконку в виде бутылки Клейна

дальше — для тех, кто уже все понял

Параметризация

Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:

x = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v — \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u
y = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v — \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u
z = \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v

В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа r равна радиусу круга. Параметр u задаёт угол на плоскости XY и v обозначает положение около 8-образного сечения.



эта статья убивает меня каждой фразой просто ><
теперь можно выдыхать.

15 комментариев

Wanamingo
афигенский бульбулятор =))
Narenn
слишком сложно ><
Wanamingo
да вроде как всё понятно кроме формул не дружу я с ними
Narenn
да все всем понятно, просто меня выражения вроде «бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием» сбивают с толку, то есть по отдельности все слова понятны, но когда надо их к одному предмету отнести..>< и потом, мне конкретно этот предмет так мозг выносит, к ленте мебиуса, коту шредингера, кубу эшера и прочим вкусностям отношусь иначе, не знаю, почему
Wanamingo
может это из за её неправильной визуализации в трехмерном мире не должно ведь быть этой дырки сбоку
Narenn
ну если я правильно поняла, то это «односторонняя» плоскость, не знаю, как сказать иначе… ну вот если ленту мебиуса из бумаги склеить и вести ручкой по ней, начиная с любого места, то все станет ясно ><
так что ничего, что там дырка
Nek
Да, помню такую фигню. А бывают такие же, но с корабликами внутри?
Narenn
вообще, кораблики не внутри собирают, а готовыми засовывают внутрь, и поднимают конструкцию-паруса и прочее… так что наверное это осуществимо 8)
Nek
я слышал версию, что сначала в бутылку засыпают части корабля, заливают клей и трясут. Иногда получается фигня, а иногда кораблик.
Altay
А сериал Футурама мне нравится ж)
Prosti
специально включил эту серию, там в самом начале и правда!
футурама бутылка клейна пиво
Narenn
там пробка снизу должна быть 8)
Nek
видимо судя по рисунку, трубка в центре спаяна.
D03ER
А че тут непонятного то? Тут всё понятно…
Narenn
все понятно, просто испытываю шок, характерный для филолога, читающего такого рода статьи.
Оставлять комментарии могут не только лишь все, мало кто может это делать.